Si soy ciudadano estadounidense y mi esposa es ciudadana de la UE, ¿qué tendría que hacer para trabajar en la UE?

Si su esposa está trabajando o estudiando en otro estado miembro de la UE que no sea el suyo (el estado miembro del que es ciudadano) está ejerciendo su derecho de libre circulación. Ella entonces tiene un derecho de residencia bajo la ley de la UE. Si vives con ella también tienes derecho de residencia. Con el derecho de residencia como miembro acompañante de la familia, no necesita ningún permiso de trabajo o de residencia, pero puede solicitar una tarjeta de residencia para obtener un comprobante de su estado. Esto puede ser muy útil al viajar o buscar empleo. La forma de obtener una tarjeta de residencia varía según los estados miembros.
En su propio estado miembro, su esposa tiene un derecho incondicional a vivir. Ella no hace uso de ningún derecho de la UE y, por lo tanto, no se le otorgaría ningún derecho o privilegio especial en virtud de la legislación de la UE. Sin embargo, en algunos casos después de haber vivido en otro estado miembro de la UE y mudarse a su propio estado, puede tener derecho a acompañarla bajo las leyes de libre circulación.
Si no está cubierto por las leyes de libre circulación de la UE, su vida o trabajo está sujeto a aprobación; No puedes empezar a trabajar sin obtener un permiso. En muchos casos, debe realizar la solicitud desde su país de origen o país de ciudadanía. Las reglas varían considerablemente y el proceso puede ser oneroso y costoso.

Eso dependería del país en el que desea trabajar. Básicamente, tendrá que solicitar un permiso de trabajo en el país específico, por lo que le sugiero que consulte las leyes de migración donde quiera que planee trabajar.