Creo que esta es la información que está buscando, directamente de la embajada alemana en Washington, Residencia Permanente
Como usted y su hijo son ciudadanos estadounidenses, pueden ingresar a Alemania y luego solicitar el permiso de residencia en su Auslaenderamt local (Oficina de Extranjería). La página a la que he vinculado anteriormente enumera los documentos que debe proporcionar. No estoy seguro de cuánto tiempo lleva el procesamiento, pero lo bueno es que puede hacerlo todo después de llegar a Alemania. Buena suerte y disfruta de tu tiempo en la patria.