¿Está permitido que una mujer cristiana ore durante la menstruación?

Sí, a ambas preguntas. Ninguno de los dos actos está prohibido dentro del cristianismo (aunque quizás algunas sectas puedan seguir sus propias reglas). Este es un aspecto del judaísmo que no se trasladó al cristianismo, aunque sí se trasladó al islam.

No hay ninguna “prueba”, aparte de que no se menciona en el Nuevo Testamento ni en la ley canónica de la Iglesia.

Sí, me aventuraré a decir (aunque no soy uno).

No creo que los cristianos generalmente sigan este tipo de reglas o legalismos relacionados con la limpieza de la oración que se encontrarían más entre los judíos (particularmente los ortodoxos) y los musulmanes.